A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por f(x) = kx para x pertencente ao intervalo (0, 4) e f(x) = 0, caso contrário. Sabendo-se que k é uma const

Gabarito

B

Comentário do professor

Como \(f(x)=kx\) é função densidade em \((0,4)\), exigimos \(\int_0^4 kx\,dx=1\). Calculando, \(\frac{k}{2}x^2\Big|_0^4=\frac{k}{2}\cdot16=8k=1\), então \(k=\tfrac{1}{8}\).

Definindo U por \(U=2X+4\), temos \(P(U>8)=P(2X+4>8)=P(X>2)\). Assim precisamos da área sob \(f(x)=\tfrac{x}{8}\) no intervalo \((2,4)\).

Calcule: \(P(X>2)=\int_2^4 \frac{x}{8}\,dx=\frac{1}{8}\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_2^4=\frac{1}{16}(16-4)=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}\). Portanto, a probabilidade vale \(\tfrac{3}{4}\).