Suponha que o valor ganho ou perdido de um apostador nas apostas n = 1, 2, 3, ... é dado pela variável aleatória \(X_n \, = \, \sum_{i=1}^n Z_i\) onde \(Z_i \, = \, \begin {cases}

Gabarito

B

Comentário do professor

Temos \(Z_i=+1\) com probabilidade \(p=0{,}6\) e \(Z_i=-1\) com probabilidade \(q=0{,}4\), e \(X_5=\sum_{i=1}^5 Z_i\). Se em 5 apostas houver \(k\) vitórias (+1) e \(5-k\) derrotas (−1), então \(X_5=k-(5-k)=2k-5\).

Queremos \(X_5=3\). Da equação \(2k-5=3\) segue \( \mathbf{k=4} \): é preciso exatamente 4 vitórias em 5 apostas.

O número de vitórias segue uma distribuição Binomial com \(n=5\) e \(p=0{,}6\). Assim

\(\mathbb{P}(X_5=3)=\mathbb{P}(k=4)=\binom{5}{4} (0{,}6)^4(0{,}4)^1.\)

Calculando: \(\binom{5}{4}=5\), \((0{,}6)^4=0{,}1296\), multiplicando por \(0{,}4\) e por 5 obtemos \(\mathbf{0{,}2592}\).