Questão FC371873
Um analista previdenciário está avaliando a frequência de dois tipos de sinistros ocorrendo independentemente entre os participantes de um plano de previdência: casos de invalidez
Principais Distribuições Discretas
FCC · 2024
Um analista previdenciário está avaliando a frequência de dois tipos de sinistros ocorrendo independentemente entre os participantes de um plano de previdência: casos de invalidez e casos de morte. Com base em dados históricos, ele determinou que, em média, ocorrem 3 casos de invalidez por ano e 2 casos de morte por ano. Utilizando a distribuição de Poisson, sendo e a base do logaritmo neperiano (ln) tal que ln(e) = 1, para modelar o número de casos de invalidez e morte, a probabilidade de que ocorra pelo menos um caso de invalidez e pelo menos um caso de morte em um ano é dada por
- e-2
- 1 - 2e-2
- 1 - e- 2(1+e-1)
- e-2 (1 - 2e-2 - e-1)
- 1 - e- 2 (1 + e-1 - e- 3)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
As contagens seguem a Poisson: \(X\sim\text{Poisson}(3)\) e \(Y\sim\text{Poisson}(2)\).
Para \(k=0\) a fórmula dá \( \mathbb{P}(Z=0)=e^{-\lambda}\). Assim \( \mathbb{P}(X=0)=e^{-3}\) e \( \mathbb{P}(Y=0)=e^{-2}\).
Como os tipos de sinistro são independentes, vale \( \mathbb{P}(X\ge1,\;Y\ge1)=\mathbb{P}(X\ge1)\,\mathbb{P}(Y\ge1)\).
Usando o complementar: \( \mathbb{P}(X\ge1)=1-e^{-3}\) e \( \mathbb{P}(Y\ge1)=1-e^{-2}\). Multiplicando,
\( (1-e^{-3})(1-e^{-2})=1-e^{-3}-e^{-2}+e^{-5}\),
que, ao fatorar \(e^{-2}\), resulta em \(1-e^{-2}\big(1+e^{-1}-e^{-3}\)\), correspondente à alternativa correta.
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