Um experimento apresenta uma probabilidade de ocorrer um determinado evento específico igual a p > 0,5. Realizando uma sequência de provas com o experimento de forma independente a

Gabarito

A

Comentário do professor

Trata-se de uma variável com distribuição geométrica, pois contamos o número de tentativas até o primeiro sucesso. A função de probabilidade é \(P(X=n)=(1-p)^{n-1}p\).

Como \(P(X=2)=2/9\), temos \((1-p)p=2/9\), que leva à equação quadrática \(p^2-p+\tfrac{2}{9}=0\). O discriminante é \(\Delta=1-\tfrac{8}{9}=\tfrac{1}{9}\), portanto \(p=\dfrac{1\pm 1/3}{2}\). Pelo enunciado \(p>0{,}5\), então \( \mathbf{p=\tfrac{2}{3}}\).

A variância da geométrica é \(Var(X)=\dfrac{1-p}{p^2}\). Substituindo \(p=\tfrac{2}{3}\) obtém-se \(Var(X)=\dfrac{1-\tfrac{2}{3}}{(\tfrac{2}{3})^2}=\dfrac{1/3}{4/9}=\dfrac{3}{4}\).