Uma variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo (a, b), com 0 < a < b. A média e a variância de X são iguais a 4 e 3, respectivamente. A probabilidade P(2 < X < 5

Gabarito

B

Comentário do professor

Para X uniforme em (a,b) vale: média \(=\dfrac{a+b}{2}\) e variância \(=\dfrac{(b-a)^2}{12}\). Como são dadas média 4 e variância 3, temos as equações \( \dfrac{a+b}{2}=4\) e \(\dfrac{(b-a)^2}{12}=3\).

Da primeira vem \(a+b=8\). Da segunda, \((b-a)^2=36\), logo \(b-a=6\) (positivo, pois \(b>a\)). Resolvendo o sistema: somando \(a+b=8\) e \(b-a=6\) dá \(2b=14\), então \(b=7\) e \(a=1\).

Para \(X\sim\!U(1,7)\), a probabilidade é proporcional ao comprimento do intervalo: \(P(2