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Questão FC371896

Atenção: Para responder a questão, utilize as informações da tabela abaixo, que fornece algumas probabilidades P(|Z| ≤ z) da curva normal padrão (Z). z 0,67 0,95 1,00 1,28 1,48 1,6

Principais Distribuições Contínuas

FCC · 2022

Atenção: Para responder a questão, utilize as informações da tabela abaixo, que fornece algumas probabilidades P(|Z| ≤ z) da curva normal padrão (Z).

 

z

 0,67 0,95 1,00 1,28 1,48 1,64

2,00

P(|Z| \(\le\) z)

 0,50 0,66 0,68 0,80 0,86 0,90

0,96
 

Uma população formada pelas medidas dos diâmetros, em centímetros (cm), de uma peça é considerada normalmente distribuída e de tamanho infinito. Sabe-se que 20% das peças apresentam uma medida do diâmetro que difere da média populacional em mais de 1,92 cm. Se 7% das peças apresentam uma medida do diâmetro inferior a 5,78 cm, então 5% das peças apresentam uma medida do diâmetro, em cm, superior a

  1. 9,45
  2. 10,92
  3. 10,46
  4. 9,95
  5. 10,20
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Seja X a variável dos diâmetros, \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\). Da informação \(P(|X-\mu|>1{,}92)=0{,}20\) vem \(P\!\left(|Z| \le \dfrac{1{,}92}{\sigma}\right)=0{,}80\). Pela tabela, o quantil correspondente é \(z=1{,}28\), logo \(\dfrac{1{,}92}{\sigma}=1{,}28\) e \(\sigma=1{,}5\) cm.

Como \(P(X<5{,}78)=0{,}07\), temos \(P\!\left(Z<\dfrac{5{,}78-\mu}{1{,}5}\right)=0{,}07\). Pela simetria, isso equivale a \(P\!\left(|Z|\le\dfrac{\mu-5{,}78}{1{,}5}\right)=0{,}86\), cujo z é \(1{,}48\). Assim \(\dfrac{\mu-5{,}78}{1{,}5}=1{,}48\) e \(\mu=8{,}00\) cm.

Queremos D tal que \(P(X>D)=0{,}05\); então \(P\!\left(Z>\dfrac{D-8}{1{,}5}\right)=0{,}05\), isto é \(P\!\left(|Z|\le\dfrac{D-8}{1{,}5}\right)=0{,}90\). Da tabela, \(\dfrac{D-8}{1{,}5}=1{,}64\), logo \(D=8+1{,}64\cdot1{,}5=10{,}46\) cm.

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