Questão FC371900
Em uma grande cidade, a população formada pela altura de seus habitantes adultos é normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito. Dados da curva normal padrão (Z), tal
Principais Distribuições Contínuas
FCC · 2018
Em uma grande cidade, a população formada pela altura de seus habitantes adultos é normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito.
Dados da curva normal padrão (Z), tal que a probabilidade P(⏐Z⏐ ≤ z) = (1 − α):
| z | 1,64 | 1,75 | 1,96 | 2,24 |
| α | 10% | 8% | 5% | 2,5% |
Sabe-se que 5% destes habitantes têm altura superior a 180 cm. Se apenas 2,5% destes habitantes têm altura inferior a 162 cm, então a média desta população é de
- 171,2 cm
- 171,8 cm
- 171,4 cm
- 171,6 cm
- 172,0 cm
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Gabarito
B
Comentário do professor
Considere a variável X das alturas com \( \boldsymbol{X \sim N(\mu,\sigma^2)}\). Use a padronização \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\).
Pelo enunciado: P(X>180)=5% e P(X<162)=2,5%. Isso implica
\( \dfrac{180-\mu}{\sigma}=1{,}64 \) (valor de z para cauda superior 5%) e \( \dfrac{\mu-162}{\sigma}=1{,}96 \) (valor de z para cauda inferior 2,5%).
Isolando \(\mu\) em ambas:
\(\mu=180-1{,}64\sigma\) e \(\mu=162+1{,}96\sigma\).
Igualando as expressões: \(180-1{,}64\sigma=162+1{,}96\sigma \Rightarrow 18=3{,}6\sigma \Rightarrow \sigma=5\).
Substituindo em \(\mu=162+1{,}96\cdot5\) obtém-se \(\mu=171{,}8\) cm, que é a resposta correta.
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