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Questão FC371903

Sabe-se que uma variável aleatória X tem distribuição geométrica, ou seja, P(X = x) = (1 − p)x − 1p com x = 1, 2, 3, ... , com a probabilidade do primeiro sucesso ocorrer em um exp

Principais Distribuições Contínuas

FCC · 2023

Sabe-se que uma variável aleatória X tem distribuição geométrica, ou seja, P(X = x) = (1 − p)x − 1p com x = 1, 2, 3, ... , com a probabilidade do primeiro sucesso ocorrer em um experimento igual a 0,50. Uma outra variável aleatória Y, independente de X, tem distribuição exponencial com um parâmetro \(α\). Se as probabilidades P(X > 2) e P(Y > 1) são iguais, então a média de Y é igual a

 

Dados:
ln(A) representa o logaritmo neperiano de A

  1. [ − ln(0,25)]
  2. [ − ln(0,50)] −1
  3. [ − ln(0,50)]
  4. [ − ln(0,25)]−1
  5. [ − ln(0,75)]−1
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Gabarito

D

Comentário do professor

Da distribuição geométrica, \(P(X=1)=p\). Como dado \(P(X=1)=0{,}5\), então p = 0{,}5.

A probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer depois da segunda tentativa é \(P(X>2)=(1-p)^2\). Substituindo p=0{,}5 obtém-se \(P(X>2)=0{,}5^2=0{,}25\).

Para \(Y\) exponencial com parâmetro a, a função sobrevivência é \(P(Y>1)=e^{-a}\). Igualando \(P(X>2)=P(Y>1)\) vem \(e^{-a}=0{,}25\), daí \(a=-\ln(0{,}25)\).

A média da exponencial é \(E[Y]=1/a\). Portanto \(E[Y]=[-\ln(0{,}25)]^{-1}\), que corresponde à alternativa correta.

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