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Questão FC371905

O tempo de vida (T), em horas, de um determinado tipo de bateria é considerado como uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade \(f(t) \, = \, \begin {cases} \f

Principais Distribuições Contínuas

FCC · 2022

O tempo de vida (T), em horas, de um determinado tipo de bateria é considerado como uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade \(f(t) \, = \, \begin {cases} \frac {1} {40} e^{-t/40} , \,\, se \,\, t \, \ge \, 0 \\ 0, \,\, caso \,\, contr\acute{a}rio \end {cases}.\)

 

Dado que uma bateria apresentou um tempo de duração de 20 horas e ainda continua funcionando, a probabilidade de que ela dure, além das 20 horas, pelo menos mais o tempo correspondente à média de T é igual a

  1. e−1/2
  2. e−3/2
  3. e−1
  4. (1 − e−1/2)
  5. e−1/2 − e−1
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

A densidade dada é de uma distribuição exponencial com parâmetro \(\lambda=\tfrac{1}{40}\). Assim a média é \(E(T)=1/\lambda=40\) horas.

Uma propriedade essencial da exponencial é a falta de memória: \(P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t)\) para \(s,t\ge0\).

Aqui temos \(s=20\) e queremos que dure, além das 20 horas, pelo menos mais \(t=40\) horas, ou seja \(P(T>60\mid T>20)=P(T>40)\) pela falta de memória.

Para a exponencial \(P(T>u)=e^{-u/40}\). Logo \(P(T>40)=e^{-40/40}=e^{-1}\).

Portanto, a probabilidade pedida é \(e^{-1}\).

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