A distribuição quiquadrado

Gabarito

A

Comentário do professor

A distribuição qui-quadrado é um caso especial da distribuição gama.

Especificamente, uma variável aleatória \(X\) com \(k\) graus de liberdade segue \(\chi^2_k\) se e somente se for \(\text{Gamma}\) com parâmetro de forma \(k/2\) e parâmetro de escala \(2\).

A função densidade é dada por
\(f(x)=\dfrac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{k/2-1}e^{-x/2},\quad x>0.\)

Uma construção comum é: se \(Z_1,\dots,Z_k\) são independentes e \(Z_i\sim N(0,1)\), então \(\sum_{i=1}^k Z_i^2\sim\chi^2_k\), o que coincide com a representação gama acima.

Dessa forma, pode-se obter facilmente momentos e propriedades usando a parametrização gama: a média é \(\mathbb{E}[X]=k\) e a variância \(\mathrm{Var}(X)=2k\).