Questão FC371912
Considere uma variável aleatória X que corresponde à renda dos indivíduos em um país. Admitindo que X tem uma distribuição de Pareto mediante a função de distribuição \(F(x)=1-(θ/x
Principais Distribuições Contínuas
FCC · 2022
Considere uma variável aleatória X que corresponde à renda dos indivíduos em um país. Admitindo que X tem uma distribuição de Pareto mediante a função de distribuição \(F(x)=1-(θ/x)^{\alpha}\) para \(x \ge θ > 0\) com \(\alpha > 1\), obtém-se que a média desta distribuição é
igual a
- \({\large{θ \over \alpha -1}}\)
- \({\large{\alpha θ \over \alpha -1}}\)
- \({\large{\alpha \over θ -1}}\)
- \({\large{\alpha θ \over θ -1}}\)
- \({\large{\alpha \over \alpha θ -1}}\)
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Gabarito
B
Comentário do professor
Comece obtendo a função de densidade a partir da CDF: \(F(x)=1-(\theta/x)^{\alpha}\). Ao derivar, vem \(f(x)=\dfrac{d}{dx}F(x)=\dfrac{\alpha\theta^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}\) para \(x\ge\theta\).
A esperança de \(X\) é \(E(X)=\int_{\theta}^{\infty} x f(x)\,dx\). Substituindo \(f(x)\) obtemos \(E(X)=\alpha\theta^{\alpha}\int_{\theta}^{\infty}x^{-\alpha}\,dx\).
Integramos por potência: \(\int_{\theta}^{\infty}x^{-\alpha}\,dx=\left[\dfrac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_{\theta}^{\infty}=\dfrac{\theta^{1-\alpha}}{\alpha-1}\), válida porque \(\alpha>1\).
Assim \(E(X)=\alpha\theta^{\alpha}\cdot\dfrac{\theta^{1-\alpha}}{\alpha-1}=\dfrac{\alpha\theta}{\alpha-1}\). A condição \(\alpha>1\) garante que a média seja finita.
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