Questão FC371913
Se uma variável aleatória X possui uma distribuição gama com parâmetros \(\alpha \ge 1\) e \(\beta > 0\) apresentando uma função geradora de momentos igual a \(M(t)=(1- \beta t)^{-
Momentos
FCC · 2022
Se uma variável aleatória X possui uma distribuição gama com parâmetros \(\alpha \ge 1\) e \(\beta > 0\) apresentando uma função geradora de momentos igual a \(M(t)=(1- \beta t)^{- \alpha}\), sendo \(0 < t < 1/\beta\), então o módulo da diferença entre o quadrado da esperança de X e a variância de X é
- \(\left\vert \alpha^2 \beta^2 \right\vert\)
- \(\left\vert \alpha \beta^2 \right\vert\)
- \(\left\vert \alpha(1-\beta^2) \right\vert\)
- \(\left\vert \alpha \beta^2(\alpha -1) \right\vert\)
- \(\left\vert \beta (\alpha \beta -1) \right\vert\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
Para a distribuição Gama com parâmetros \(\alpha \ge 1\) e \(\beta>0\), a esperança e a variância são conhecidas: Esperança \(E(X)=\alpha\beta\) e Variância \(\operatorname{Var}(X)=\alpha\beta^2\).
Queremos o módulo da diferença entre o quadrado da esperança e a variância:
\(|(E(X))^2-\operatorname{Var}(X)| = |(\alpha\beta)^2 - \alpha\beta^2|\).
Fatorando \(\alpha\beta^2\) obtemos
\(|(\alpha\beta)^2 - \alpha\beta^2| = |\alpha\beta^2(\alpha-1)|.\)
Assim, o resultado é \(\left\vert \alpha \beta^2(\alpha -1)\right\vert\), que coincide com o gabarito.
Observação: pode-se também obter \(E(X)\) e \(E(X^2)\) derivando a fgm \(M(t)=(1-\beta t)^{-\alpha}\) em \(t=0\).
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