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Questão FC371914

A média e o desvio padrão de uma variável aleatória X, que apresenta uma distribuição binomial com parâmetros n e p, são iguais a 9 e 1,5, respectivamente. Sabendo-se que n é um nú

Momentos

FCC · 2022

A média e o desvio padrão de uma variável aleatória X, que apresenta uma distribuição binomial com parâmetros n e p, são iguais a 9 e 1,5, respectivamente. Sabendo-se que n é um número inteiro estritamente positivo e p \(\in\) [0, 1], então a função geradora de momentos de X, denotada por Mx(t), é igual a

  1. (0,75 + 0,25et)12
  2. (0,75 + 0,25et)9
  3. (0,75 + 0,25et)18
  4. (0,25 + 0,75et)9
  5. (0,25 + 0,75et)12
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para uma variável com distribuição binomial, a média e o desvio padrão satisfazem \(E(X)=np\) e \(\mathrm{DP}(X)=\sqrt{np(1-p)}\).

Da média vem \(np=9\). Do desvio padrão, \(\sqrt{np(1-p)}=1{,}5\), então \(np(1-p)=2{,}25\). Substituindo \(np=9\) obtemos \(9(1-p)=2{,}25\), logo \(1-p=0{,}25\) e portanto \(p=0{,}75\).

Com \(p=3/4\) e \(np=9\) segue \(n=9/p=12\).

A função geradora de momentos da binomial é \(M_X(t)=(1-p+p e^{t})^{n}\). Substituindo os valores calculados resulta

\(M_X(t)=(0{,}25+0{,}75e^{t})^{12}\).

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