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Questão FC371915

Considere a função geradora de momentos Mx(t) = (1 − 2t)−3, com t < 0,5, correspondente a uma variável aleatória X com uma distribuição gama. A variância relativa de X, definida co

Momentos

FCC · 2022

Considere a função geradora de momentos Mx(t) = (1 − 2t)−3, com t < 0,5, correspondente a uma variável aleatória X com uma distribuição gama. A variância relativa de X, definida como a divisão da variância de X pelo quadrado da média de X, é igual a

  1. \(\large{1 \over 12}\)
  2. \(\large{1 \over 6}\)
  3. \(\large{1 \over 4}\)
  4. \(\large{1 \over 9}\)
  5. \(\large{1 \over 3}\)
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Da função geradora de momentos \(M_X(t)=(1-2t)^{-3}\) aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas: \(M'_X(t)=6(1-2t)^{-4}\) e \(M''_X(t)=48(1-2t)^{-5}\).

Avaliando em \(t=0\) obtemos as momentos: E[X] = \(M'_X(0)=6\) e E[X^2] = \(M''_X(0)=48\).

Assim, a Var[X] = \(E[X^2]-E[X]^2 = 48-6^2 = 12\).

Por fim, a variância relativa, definida como \(\dfrac{\text{Var}[X]}{(E[X])^2}\), é \(\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\), correspondente à alternativa correta.

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