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Questão FC371916

Seja a função geradora de momentos MX(t) = (1 – 2t)−2, com t < 1/2, correspondente a uma variável aleatória X com distribuição qui-quadrado com r graus de liberdade. A média e a va

Momentos

FCC · 2022

Seja a função geradora de momentos MX(t) = (1 – 2t)−2, com t < 1/2, correspondente a uma variável aleatória X com distribuição qui-quadrado com r graus de liberdade. A média e a variância de X são, respectivamente, iguais a

  1. 2 e 4
  2. 2 e 8
  3. 2 e 12
  4. 4 e 24
  5. 4 e 8
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Da função geradora \(M_X(t)=(1-2t)^{-2}\) reconhece-se a forma geral da qui-quadrado \(M_X(t)=(1-2t)^{-r/2}\). Assim, \(r/2=2\) ⇒ r=4, e para essa distribuição vale E(X)=r e Var(X)=2r. Portanto \(E(X)=4\) e \(Var(X)=8\).

Se preferir confirmar por derivação: \(M'_X(t)=4(1-2t)^{-3}\), logo \(M'_X(0)=E(X)=4\).
Depois, \(M''_X(t)=24(1-2t)^{-4}\), assim \(M''_X(0)=E(X^2)=24\).
Então \(Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=24-4^2=8\).

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