Questão FC371917
A função geradora de momentos de uma variável aleatória X é definida como Mx(t) = E[etx] para todos os valores de t na qual a esperança seja finita. No caso de uma variável aleatór
Momentos
FCC · 2018
A função geradora de momentos de uma variável aleatória X é definida como Mx(t) = E[etx] para todos os valores de t na qual a esperança seja finita.
No caso de uma variável aleatória discreta, a função geradora de momentos é definida como: = \(M_x (t) = \sum_x\)e \(^{tx}\) f (x) onde f(x) corresponde à função de probabilidade da variável aleatória X. Tem-se ainda que: \(M^{(k)}_x (0) =\) E [ \(x^k\)], ou seja, a derivada de ordem k da função geradora de momentos, quando t = 0, gera o momento de ordem k. Considere que uma variável aleatória discreta X tenha uma função geradora de momentos igual a: \(M_x (t) = { \large 1 \over 6}\)(e \(^t\) + e \(^{2t}\) + e \(^{3t}\) + e \(^{4t}\) + e \(^{5t}\) + e \(^{6t}\)). Os valores da média e variância de X são, respectivamente:
- 2/3 e 70/13.
- 7/2 e 7/12.
- 7/2 e 35/12.
- 1 e 7/2.
- 0 e 9/6.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
MGF: dada \(M_X(t)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^6 e^{kt}\), usamos \(M_X^{(k)}(0)=E[X^k]\).
Esperança: derive uma vez: \(M'_X(t)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^6 k e^{kt}\). Avaliando em \(t=0\) obtemos \(E[X]=M'_X(0)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^6 k=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}.\)
Segundo momento: derive novamente: \(M''_X(t)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^6 k^2 e^{kt}\). Em \(t=0\), \(E[X^2]=M''_X(0)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^6 k^2=\frac{91}{6}.\)
Variância: \(Var(X)=E[X^2]-E[X]^2=\frac{91}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2=\frac{35}{12}.\)
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