A função geradora de momentos de uma variável aleatória X que tem distribuição Gama com parâmetros α e β estritamente positivos é igual a \(M_x(t)\) = \((1 − βt)^{−α}\). Dado que \

Gabarito

D

Comentário do professor

A função geradora de momentos (MGF) da Gama é \(M_X(t)=(1-\beta t)^{-\alpha}\). Para obter momentos não centrados usamos derivadas: \(E(X^n)=M_X^{(n)}(0)\).

Calculando as primeiras derivadas temos \(M'_X(t)=\alpha\beta(1-\beta t)^{-\alpha-1}\) e \(M''_X(t)=\alpha(\alpha+1)\beta^2(1-\beta t)^{-\alpha-2}\).

Aplicando \(t=0\) e \(\alpha=8\) obtemos \(M''_X(0)=8\cdot9\cdot\beta^2=72\beta^2\). Como foi dado \(E(X^2)=162\), segue \(72\beta^2=162\), daí \(\beta^2=\tfrac{162}{72}=\tfrac{9}{4}\) e \(\beta=\tfrac{3}{2}\) (positivo).

Finalmente, a média é \(E(X)=M'_X(0)=\alpha\beta=8\cdot\tfrac{3}{2}=12\). Portanto, a média de X é 12.