Considere a função de probabilidade conjunta de duas variáveis discretas X e Y dada por f(x,y) = c(x + y), em que c é um parâmetro real não nulo e x e y podem assumir todos os inte

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para determinar a constante, imponha a normalização: \( \sum_{x=0}^3\sum_{y=0}^3 c(x+y)=1\). Calculando as somas, obtemos \( \sum_{x,y}(x+y)=48\), logo \(c=\tfrac{1}{48}\).

Calcule \(P(0\le X<3)\). É mais simples subtrair a linha \(x=3\): a soma dessa linha é \( \sum_{y=0}^3(3+y)=18\), então \(P(0\le X<3)=1-18c=1-\tfrac{18}{48}=\tfrac{30}{48}.\)

Agora, a esperança condicional \(E(Y\mid X=1)=\dfrac{\sum_{y=0}^3 y\;f(1,y)}{P(X=1)}\). Com \(f(1,y)=c(1+y)\) temos numerador \(c(0\cdot1+1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4)=20c\) e denominador \(P(X=1)=\sum_{y}c(1+y)=10c\), então \(E(Y\mid X=1)=2.\)

Multiplicando: \(P(0\le X<3)\cdot E(Y\mid X=1)=\tfrac{30}{48}\cdot 2=\tfrac{60}{48}=\tfrac{5}{4}.\)