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Questão FC371921

A função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas X e Y é dada por f(x,y) = c(2x + 3y), em que x e y podem assumir todos inteiros, tal que 0 \(\le\) x \(\le

Variáveis Aleatórias Multidimensionais

FCC · 2022

A função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas X e Y é dada por f(x,y) = c(2x + 3y), em que x e y podem assumir todos inteiros, tal que 0 \(\le\) x \(\le\) 2 e 0 \(\le\) y \(\le\) 2, com c caracterizando um parâmetro real não nulo. A esperança condicional de Y dado que X = 1, denotada por E(Y|X = 1), é igual a

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Gabarito

B

Comentário do professor

Para obter a esperança condicional \(E(Y\mid X=1)\) usamos a definição \(E(Y\mid X=x)=\sum_{y=0}^2 y\,P(Y=y\mid X=x)\). A função conjunta é \(f(x,y)=c(2x+3y)\) para \(x,y\in\{0,1,2\}\).

Calculamos a distribuição marginal de \(X\): \(P(X=x)=\sum_{y=0}^2 c(2x+3y)=c(6x+9)\). Assim a probabilidade condicional é \(P(Y=y\mid X=x)=\dfrac{2x+3y}{6x+9}\). Para \(x=1\) obtemos \(P(Y=y\mid X=1)=\dfrac{2+3y}{15}\).

Logo, \(E(Y\mid X=1)=\sum_{y=0}^2 y\cdot\dfrac{2+3y}{15}=\dfrac{0+5+16}{15}=\dfrac{21}{15}=\dfrac{7}{5}\).

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