Seja a função de densidade de probabilidade da variável bidimensional contínua (X,Y) dada por \(f(x, \, y) \, = \, \begin {cases} K(x \, + \, y), \,\, se \,\, 0 \, < \, x \, < \, 1

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Como \(f\) é densidade, normalizamos: \(1=\int_0^1\int_0^1 K(x+y)\,dx\,dy\). Integramos em \(x\): \(\int_0^1(x+y)\,dx=\tfrac{1}{2}+y\). Então \(\int_0^1(\tfrac{1}{2}+y)\,dy=1\), logo \(K\cdot 1=1\) e K=1.

A marginal de Y é \(f_Y(y)=\int_0^1 (x+y)\,dx=\tfrac{1}{2}+y\) para \(0

A densidade condicional é \(f_{X|Y}(x\mid\tfrac{1}{2})=\dfrac{f(x,\tfrac{1}{2})}{f_Y(\tfrac{1}{2})}=\dfrac{x+\tfrac{1}{2}}{1}=x+\tfrac{1}{2}\) em \(0

Portanto \( \displaystyle E(X\mid Y=\tfrac{1}{2})=\int_0^1 x\big(x+\tfrac{1}{2}\big)\,dx=\int_0^1\!x^2\,dx+\tfrac{1}{2}\int_0^1\!x\,dx=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{7}{12}.\)