A função de densidade conjunta das variáveis aleatórias contínuas X e Y é dada por \(f(x,y)={\large{3(x^2+y^2) \over 2}}\) para 0 < x < 1 e 0 < y < 1. A esperança condicional de Y

Gabarito

D

Comentário do professor

Queremos \(E(Y\mid X=1/2)\). Primeiro obtemos a marginal de \(X\): \(f_X(x)=\int_0^1 \frac{3(x^2+y^2)}{2}\,dy=\frac{3x^2+1}{2}\).

O numerador de \(E(Y\mid X=x)=\dfrac{1}{f_X(x)}\int_0^1 y f(x,y)\,dy\) é \(\int_0^1 y\frac{3(x^2+y^2)}{2}\,dy=\frac{3}{2}\!\left(\frac{x^2}{2}+\frac{1}{4}\right)=\frac{3(2x^2+1)}{8}.\)

Assim \(E(Y\mid X=x)=\dfrac{\frac{3(2x^2+1)}{8}}{\frac{3x^2+1}{2}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2x^2+1}{3x^2+1}.\)

Finalmente, para \(x=\tfrac{1}{2}\) temos \(E(Y\mid X=1/2)=\frac{3}{4}\cdot\frac{2(1/4)+1}{3(1/4)+1}=\frac{3}{4}\cdot\frac{3/2}{7/4}=\frac{9}{14}.\) Gabarito: 9/14.