Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição exponencial de parâmetro λ. A probabilidade de X ≥ 2Y é:

Gabarito

A

Comentário do professor

Usamos a independência e condicionamos em \(Y\). Então

Probabilidade: \(P(X\ge 2Y)=\int_{0}^{\infty}P(X\ge 2y)\,f_Y(y)\,dy\).

Como \(X\) é \emph{exponencial}(λ), tem cauda \(P(X\ge 2y)=e^{-2\lambda y}\). E \(f_Y(y)=\lambda e^{-\lambda y}\).

Substituindo, obtemos a integral

\(\;P(X\ge 2Y)=\int_{0}^{\infty}e^{-2\lambda y}\,\lambda e^{-\lambda y}\,dy=\lambda\int_{0}^{\infty}e^{-3\lambda y}dy.\)

Calculando, \(\lambda\cdot\frac{1}{3\lambda}=\frac{1}{3}\). Portanto, o resultado é \(\tfrac{1}{3}\).