Questão FC371933
Uma população formada por um atributo X referente a 400 trabalhadores de um certo ramo de atividade é dividida em 3 estratos. O quadro abaixo apresenta a composição dos estratos co
Estimadores Pontuais e Distribuições Amostrais
FCC · 2018
Uma população formada por um atributo X referente a 400 trabalhadores de um certo ramo de atividade é dividida em 3 estratos. O quadro abaixo apresenta a composição dos estratos com os respectivos desvios padrões do estrato.
Para o desenvolvimento de um estudo, decide-se tomar uma amostra aleatória de 80 trabalhadores, estratificada, com reposição e com a partilha proporcional aos tamanhos dos estratos. Seja o estimador
\(\overline X = \sum \limits_{i=1}^3 {N_i \overline {X_i} \over 400}\)
da média da população em que \(X_i\)é a média amostral do estrato i. Assim, a variância de X é igual a
- 0,170
- 0,125
- 0,250
- 0,225
- 0,450
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Gabarito
A
Comentário do professor
Usamos a propriedade de variância de combinação linear: \(Var(aX+bY+\dots)=\sum a^2Var(\cdot)\). Assim
\(Var(\overline X)\) = \(\left(\dfrac{N_1}{400}\right)^2Var(\overline X_1)+\left(\dfrac{N_2}{400}\right)^2Var(\overline X_2)+\left(\dfrac{N_3}{400}\right)^2Var(\overline X_3)\).
Para amostragem estratificada com reposição e alocação proporcional, com \(n=80\), tem-se
\(Var(\overline X_i)=\dfrac{N}{N_i}\cdot\dfrac{\sigma_i^2}{n}\), com \(N=400\). Usando \(\sigma_1^2=16,\ \sigma_2^2=16,\ \sigma_3^2=4\):
\(Var(\overline X_1)=\dfrac{400}{200}\cdot\dfrac{16}{80}=0{,}4\); \(Var(\overline X_2)=\dfrac{400}{120}\cdot\dfrac{16}{80}=0{,}666\ldots\); \(Var(\overline X_3)=\dfrac{400}{80}\cdot\dfrac{4}{80}=0{,}25\).
Substituindo na soma ponderada:
\(Var(\overline X)=\left(\tfrac{200}{400}\right)^2\!0{,}4+\left(\tfrac{120}{400}\right)^2\!0{,}666\ldots+\left(\tfrac{80}{400}\right)^2\!0{,}25=0{,}17.\)
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