FC ConcursosFC Concursos

Questão FC371936

Dois estimadores E1 e E2, não viesados, são utilizados para estimar a média μ de uma população normalmente distribuída apresentando uma variância unitária. Sejam E1 = mX + (m + n)Y

Característica dos Estimadores

FCC · 2022

Dois estimadores E1 e E2, não viesados, são utilizados para estimar a média μ de uma população normalmente distribuída apresentando uma variância unitária. Sejam E1 = mX + (m + n)Y − Z e E2 = mX + (m − n)Y − nZ os dois estimadores em que m e n são parâmetros reais e (X, Y, Z) uma amostra aleatória de tamanho 3 extraída da população, com reposição. A variância (V) do estimador mais eficiente, entre E1 e E2, é tal que

  1. V > 2,5.
  2. V ≤ 1,0.
  3. 1,5 < V ≤ 2,0.
  4. 2,0 < V ≤ 2,5.
  5. 1,0 < V ≤ 1,5.
Mostrar resposta e comentário

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Aplicando que os estimadores são não viesados, igualamos as esperanças: para \(E_1\), \(E[E_1]=\mu(2m+n-1)=\mu\), obtendo \(2m+n=2\). Para \(E_2\), \(E[E_2]=\mu(2m-2n)=\mu\), obtendo \(2m-2n=1\).

Resolvendo o sistema: de \(2m+n=2\) e \(2m-2n=1\) vem \(3n=1\Rightarrow n=\tfrac{1}{3}\) e \(m=\tfrac{5}{6}\).

Como as observações são independentes e \(\operatorname{Var}[X]=\operatorname{Var}[Y]=\operatorname{Var}[Z]=1\), calculamos as variâncias:

\( \operatorname{Var}[E_1]=m^2+(m+n)^2+1=\dfrac{110}{36}\approx3{,}06\).

\( \operatorname{Var}[E_2]=m^2+(m-n)^2+n^2=\dfrac{38}{36}\approx1{,}056\).

O estimador mais eficiente é o que tem menor variância: \(E_2\) com \(V\approx1{,}056\), isto é, satisfeito \(1{,}0< V \le 1{,}5\), conforme a alternativa correta.

Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em

Continue aprendendo