Os estimadores independentes e não viesados \(E_1\), \(E_2\) e \(E_3\) são utilizados para a média μ de uma população normalmente distribuída e desvio padrão igual a 0,5. Tem-se qu

Gabarito

B

Comentário do professor

Usando a independência, vale \(Var\!\left(\sum a_iX_i\right)=\sum a_i^2Var(X_i)\). Como o desvio padrão da população é 0,5, temos \(Var(X_i)=0{,}25\).

Para \(E_1=mX_1+nX_2-2pX_3\): \(Var(E_1)=m^2Var(X_1)+n^2Var(X_2)+4p^2Var(X_3)=0{,}25(m^2+n^2+4p^2)\). Com a condição \(n=2m=2p\) segue \(n=2m\) e \(p=m\), logo \(m^2+n^2+4p^2= m^2+(2m)^2+4m^2=9m^2\).

Assim \(Var(E_1)=0{,}25\cdot9m^2=2{,}25\,m^2\). Como os estimadores são não viesados, \(E(E_1)=m\mu+n\mu-2p\mu=\mu\), levando a \(m=1\).

Portanto a variância do estimador mais eficiente é \(Var(E_1)=2{,}25\).