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Questão FC371939

Em uma população correspondente a uma variável aleatória X, normalmente distribuída com variância unitária e média μ, é extraída uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho 3,

Característica dos Estimadores

FCC · 2018

Em uma população correspondente a uma variável aleatória X, normalmente distribuída com variância unitária e média μ, é extraída uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho 3, ou seja, ( \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\)). Sabendo que um estimador utilizado para a média μ desta população é E = (2 \(m^2\)− 20 m) \(X_1\) + (5 m + 9) \(X_2\) − (m − 16) \(X_3\) (com m sendo um parâmetro real) é não viesado, verifica-se que entre os possíveis estimadores formados por meio de E, o mais eficiente apresenta uma variância igual a

  1. 1581
  2. 701
  3. 1621
  4. 3925
  5. 337
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Gabarito

A

Comentário do professor

Para que \(E\) seja não viesado exige-se \(E(E)=\mu\). Assim, usando linearidade da esperança obtemos \(1=(2m^2-20m)+(5m+9)-(m-16)\), que reduz a \(m^2-8m+12=0\), cujas raízes são \(m=2\) e \(m=6\).

Como as observações são independentes e \(\operatorname{Var}(X_i)=1\), a variância do estimador é a soma dos quadrados dos coeficientes: \(\operatorname{Var}(E)=a_1^2+a_2^2+a_3^2\), onde \(a_1=2m^2-20m\), \(a_2=5m+9\), \(a_3=-(m-16)\).

Para \(m=2\): \(a_1=-32,\;a_2=19,\;a_3=14\), então \(\operatorname{Var}(E)=32^2+19^2+14^2=1024+361+196=1581\).

Como essa é a menor variância obtida entre as soluções admissíveis, o estimador mais eficiente possui variância igual a 1581.

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