Questão FC371942
Uma variável aleatória X tem a seguinte função de densidade: \(f_x (X) = \begin{cases} k x^{k-1} \mbox{ para } 0 < x \mbox{ sendo } k> 0 \\ 0 \mbox{ caso contrário} \end{cases}\) D
Característica dos Estimadores
FCC · 2018
Uma variável aleatória X tem a seguinte função de densidade:
\(f_x (X) = \begin{cases} k x^{k-1} \mbox{ para } 0 < x \mbox{ sendo } k> 0 \\ 0 \mbox{ caso contrário} \end{cases}\)
Deseja-se obter, utilizando o método da máxima verossimilhança, a estimativa do parâmetro K, sabendo-se que da população correspondente de X foi extraída uma amostra aleatória, com reposição de 4 observações independentes, ou seja: (0,50; 0,70; 0,80; 0,72).
Obs.: Se ln(a) é o logaritmo neperiano de a então: ln(0,50) = −0,69, ln(0,70) = −0,36, ln(0,80) = −0,22 e ln(0,72) = −0,33.
A estimativa encontrada para K, com base na amostra, foi de
- 1,60.
- 2,50.
- 2,00.
- 2,25.
- 3,20.
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Gabarito
B
Comentário do professor
Começamos pela função densidade \(f(x)=k x^{k-1}\) para \(00\). A verossimilhança para a amostra \((x_1,\ldots,x_4)\) é \(L= \prod_{i=1}^4 k x_i^{\,k-1}=k^4\,(x_1x_2x_3x_4)^{\,k-1}\).
Tomando o logaritmo, obtém-se a log-verossimilhança \(\ln L = 4\ln k + (k-1)\sum_{i=1}^4 \ln x_i\).
Derivando em relação a \(k\) e igualando a zero: \(\dfrac{4}{k}+\sum_{i=1}^4\ln x_i=0\), logo \(\displaystyle k=-\dfrac{4}{\sum_{i=1}^4\ln x_i}\).
Usando os valores fornecidos \(\ln0{,}50=-0{,}69,\ \ln0{,}70=-0{,}36,\ \ln0{,}80=-0{,}22,\ \ln0{,}72=-0{,}33\), a soma é \(-1{,}60\). Assim \(k=-4/(-1{,}60)=2{,}5\).
Verificação: a segunda derivada é \(-4/k^2<0\) (para \(k>0\)), confirmando que se trata de um ponto de máximo.
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