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Questão FC371950

Para responder a questão, considere os dados da tabela a seguir, que dá os valores das probabilidades P(Z \(\le\) z) para a distribuição normal padrão (Z). Z 0,41 0,52 1,00 1,08 1,

Intervalos de Confiança

FCC · 2022

Para responder  a questão, considere os dados da tabela a seguir, que dá os valores das probabilidades P(Z \(\le\) z) para a distribuição normal padrão (Z).

Z 0,41 0,52 1,00 1,08 1,28 1,64

2,00

P(Z \(\le\) Z)

 0,66 0,70 0,84

0,86

0,90

 0,95

0,98
 

De uma população normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito extraiu-se uma amostra aleatória de tamanho 36, obtendo-se uma média amostral igual a 80. Com base nesta amostra, um intervalo de confiança de 90% foi construído para a média \(\mu\) da população apresentando como resultado o intervalo [75,08; 84,92]. Uma outra amostra aleatória de tamanho 144, independente da primeira, foi extraída da população obtendo-se um novo intervalo de confiança de 96% para \(\mu\) com uma amplitude igual a

  1. 6,00
  2. 4,92
  3. 9,84
  4. 3,84
  5. 12,00
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Gabarito

A

Comentário do professor

Do intervalo [75,08; 84,92] extraímos o meio da amplitude, o erro \(E_1=84{,}92-80=4{,}92\). Para nível de confiança 90%, \(z_{\alpha/2}\) satisfaz \(P(-z\le Z\le z)=0{,}90\), logo \(P(Z\le z)=0{,}95\) e pela tabela \(z=1{,}64\).

Usando \(E = z\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) com \(n_1=36\):\(
\) \(4{,}92=1{,}64\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{36}}\Rightarrow \sigma=18\).

Na segunda amostra \(n_2=144\) e nível de confiança 96% implica \(\alpha/2=0{,}02\) e \(P(Z\le z)=0{,}98\), portanto \(z=2\).

O novo erro é \(E_2=2\cdot\dfrac{18}{\sqrt{144}}=2\cdot\dfrac{18}{12}=3\). Assim, a amplitude do intervalo é \(2E_2=6\).

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