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Questão FC371959

Um intervalo de confiança com um nível de (1 − α) foi construído para a média \(μ_1\) de uma população \(P_1\), normalmente distribuída, de tamanho infinito e variância populaciona

Intervalos de Confiança

FCC · 2018

Um intervalo de confiança com um nível de (1 − α) foi construído para a média \(μ_1\) de uma população \(P_1\), normalmente distribuída, de tamanho infinito e variância populacional igual a 144. Por meio de uma amostra aleatória de tamanho 36 obtevese esse intervalo igual a [25,3; 34,7]. Seja uma outra população \(P_2\), também normalmente distribuída, de tamanho infinito e independente da primeira. Sabe-se que a variância de \(P_2\) é conhecida e que por meio de uma amostra aleatória de tamanho 64 de \(P_2\) obteve-se um intervalo de confiança com um nível de (1 − α) para a média \(μ_2\) de \(P_2\) igual a [91,54; 108,46]. O desvio padrão de \(P_2\) é igual a

  1. 28,80.
  2. 19,20.
  3. 23,04.
  4. 38,40.
  5. 14,40.
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Gabarito

A

Comentário do professor

O intervalo de confiança para a média com desvio populacional conhecido é \( \bar X \pm Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \). A amplitude do intervalo é \(A=2Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) e a média amostral é o ponto médio dos limites.


Para \(P_1\): \(A=34{,}7-25{,}3=9{,}4\), com \(\sigma=12\) e \(n=36\). Assim \(9{,}4=2Z_{\alpha/2}\frac{12}{6}=4Z_{\alpha/2}\), daí \(Z_{\alpha/2}=2{,}35\).


Para \(P_2\): \(A=108{,}46-91{,}54=16{,}92\) e \(n=64\). Usando o mesmo \(Z_{\alpha/2}\) temos \(16{,}92=2\cdot2{,}35\cdot\frac{\sigma}{8}\). Isolando \(\sigma\): \(\sigma=\dfrac{16{,}92\cdot8}{2\cdot2{,}35}=28{,}80\).

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