FC ConcursosFC Concursos

Questão FC371960

Uma variável aleatória X tem distribuição normal, variância desconhecida e com uma população de tamanho infinito. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 95% para a média

Intervalos de Confiança

FCC · 2018

Uma variável aleatória X tem distribuição normal, variância desconhecida e com uma população de tamanho infinito. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 95% para a média μ da população com base em uma amostra aleatória de tamanho 9 extraída dessa população e considerando a distribuição t de Student. Nessa amostra, observou-se que a média apresentou um valor igual a 5 e a soma dos quadrados dos 9 elementos da amostra foi igual a 243.

 

Dados:
Valores críticos ( \(t_α\)) da distribuição de Student com n graus de liberdade, tal que a
probabilidade P(t > \(t_α\)) = α.

 
n α = 0,025 α = 0,05 α = 0,10
7
8
9		 2,36
2,31
2,26		 1,89
1,86
1,83		 1,41
1,40
1,38
 

O intervalo de confiança encontrado foi igual a

  1. [4,055; 5,945].
  2. [4,070; 5,930].
  3. [4,300; 5,700].
  4. [3,845; 6,155].
  5. [3,870; 6,130].
Mostrar resposta e comentário

Gabarito

D

Comentário do professor

Como a população é normal e a variância é desconhecida, usa‑se a distribuição t de Student com \(n-1\) graus de liberdade para o intervalo de confiança de 95%.

Primeiro calcule o desvio padrão amostral: \(s=\sqrt{\dfrac{\sum x_i^2 - n\bar X^2}{n-1}}=\sqrt{\dfrac{243-9\cdot5^2}{8}}=\sqrt{\dfrac{18}{8}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=1{,}5\).

Com \(n=9\) temos \(df=8\) e da tabela \(t_{8,\,0{,}025}=2{,}31\). O erro padrão da média é \(\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{1{,}5}{3}=0{,}5\).

Logo a margem de erro é \(2{,}31\times0{,}5=1{,}155\) e o intervalo de confiança é \(\left(5-1{,}155;\;5+1{,}155\right)=\left(3{,}845;\;6{,}155\right)\).

Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em

Continue aprendendo