Questão FC371962
Em uma grande região de um país, uma empresa ( \(E_1\)) foi contratada para elaborar uma pesquisa referente a um atributo X, correspondente a uma população considerada normal, de t
Intervalos de Confiança
FCC · 2018
Em uma grande região de um país, uma empresa ( \(E_1\)) foi contratada para elaborar uma pesquisa referente a um atributo X, correspondente a uma população considerada normal, de tamanho infinito, média μ desconhecida e variância populacional igual a 144. Considerando uma amostra aleatória de tamanho 64, esta empresa apurou um intervalo de confiança com um nível de confiança (1 − \(\alpha\)) para μ igual a [99,0; 105,0]. Uma outra empresa ( \(E_2\)) trabalhando independentemente da primeira, na mesma região, também elaborou uma pesquisa referente ao atributo X utilizando uma amostra de tamanho 400 e encontrando uma média amostral igual a 104,5. O intervalo de confiança para μ com um nível de confiança (1 − \(\alpha\)) encontrado por \(E_2\) foi de
- [101,5; 107,5]
- [103,0; 106,0]
- [103,9; 105,1]
- [102,7; 106,3]
- [103,3; 105,7]
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Da empresa E₁ sabemos que a população é normal com **variância** \( \sigma^2=144\), logo \( \sigma=12\). O intervalo dado é \([99,0;105,0]\), cuja média amostral é \( \overline{X}_1=(99+105)/2=102\) e a meia-amplitude (margem) é \(105-102=3\).
A fórmula do intervalo de confiança quando \( \sigma\) é conhecida é \( \left(\overline{X}\pm Z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\). Assim, para E₁ temos \(3=Z_{\alpha/2}\dfrac{12}{\sqrt{64}}=Z_{\alpha/2}\dfrac{12}{8}=Z_{\alpha/2}\cdot1{,}5\), portanto \(Z_{\alpha/2}=2\).
Para E₂, com \(n=400\) e \( \overline{X}_2=104{,}5\), a margem será \(Z_{\alpha/2}\dfrac{12}{\sqrt{400}}=2\cdot\dfrac{12}{20}=2\cdot0{,}6=1{,}2\).
Portanto o intervalo pedido é \(104{,}5\pm1{,}2\), ou seja \([103{,}3;105{,}7]\), que corresponde à alternativa correta.
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