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Questão FC371973

Uma amostra aleatória de tamanho 9 é extraída de uma população normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito. Denotaram-se os elementos da amostra por \(\{x_1,x_2,x_3,

Testes de Hipóteses

FCC · 2022

Uma amostra aleatória de tamanho 9 é extraída de uma população normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito. Denotaram-se os elementos da amostra por \(\{x_1,x_2,x_3, \cdots , x_9\}\) e obtiveram-se as seguintes informações:

\(\sum\limits^{9}_{i=1} x_i=54\) e \(\sum\limits^{9}_{i=1} x^2_i =374\)

 

Dados: Quantis da distribuição t de Student \((t _\alpha)\) tal que a probabilidade \(P(t > t_\alpha)=\alpha\) com n graus de liberdade:

n 7 8 9
t0,050 1,895 1,860 1,833
t0,025 2,365 2,306 2,262

Utilizando o teste t de Student e com base nesta amostra, deseja-se testar, a um determinado nível de significância, se a média \(\mu\) da população difere de 4,3 dado que a variância populacional é desconhecida. Considerando as hipóteses \(H_0: \mu=4,3\) (hipótese nula) e \(H_1: \mu ≠4,3\) (hipótese alternativa), conclui-se que ao nível de significância de

  1. 10% \(H_0\) não é rejeitada.
  2. \(\beta\), tal que \(\beta < 5\%\), \(H_0\) não é rejeitada.
  3. \(\beta\), tal que \(5\% < \beta < 10\%\), \(H_0\) é rejeitada.
  4. \(5\%\) e ao nível de significância de \(10\% H_0\) não é rejeitada.
  5. \(\beta\), tal que \(\beta > 10\%\), \(H_0\) não é rejeitada.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Calcule a média amostral: \(\bar x=54/9=6\).

Calcule o desvio padrão amostral: \(s^2=\frac{374-9\cdot6^2}{8}=\frac{50}{8}=\frac{25}{4}\), logo \(s=2{,}5\).

A estatística t é \(t=\dfrac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}=\dfrac{6-4{,}3}{2{,}5/\sqrt9}=\dfrac{1{,}7}{0{,}8333}\approx2{,}04\).

Com \(n-1=8\) graus de liberdade, o valor crítico bicaudal a 5% é \(t_{0{,}025,8}=2{,}306\). Como \(|t|=2{,}04<2{,}306\), não há evidência suficiente para rejeitar \(H_0\) ao nível de 5%.

Portanto, para qualquer nível de significância \(\beta<5\%\) (mais exigente), também não se rejeita \(H_0\).

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