Questão FC371974
Uma amostra aleatória de tamanho 9 é extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída, média \(\mu\) e variância desconhecida. Deseja-se testar a hipótese, com bas
Testes de Hipóteses
FCC · 2022
Uma amostra aleatória de tamanho 9 é extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída, média \(\mu\) e variância desconhecida. Deseja-se testar a hipótese, com base nos dados da amostra, que a média \(\mu\) da população é menor que 15 ao nível de significância de 5%. Foram formuladas as hipóteses: H0: \(\mu\) = 15 (hipótese nula) e H1: \(\mu\) < 15 e utilizou-se o teste t de Student.
Dados:
Quantis da distribuição t de Student (t\(\alpha\)) tal que a probabilidade P(t > t\(\alpha\)) = \(\alpha\) com n graus de liberdade:
n 7 8 9
t0,05 1,90 1,86 1,83
Se a variância amostral foi igual a 4, conclui-se que o menor valor que pode ser encontrado para a média amostral \(\bar{X}\) tal que não se cometa um erro tipo I é igual a
- 12,21
- 13,76
- 12,02
- 12,52
- 14,38
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Gabarito
B
Comentário do professor
A estatística de teste é \(T_0=\dfrac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\). Aqui \(\mu_0=15\), \(s=\sqrt{4}=2\) e \(n=9\), logo \(s/\sqrt{n}=2/3\) e
\(T_0=\dfrac{\bar X-15}{2/3}=\tfrac{3}{2}(\bar X-15)\).
Com \(n-1=8\) graus de liberdade, o quantil fornecido é \(t_{0,05}=1{,}86\). Para um teste unilateral à esquerda (\(H_1:\mu<15\)), a região de rejeição é \(T_0< -1{,}86\). Para não cometer erro tipo I precisamos permanecer na região de não rejeição:
\(\tfrac{3}{2}(\bar X-15)\ge -1{,}86\).
Resolvendo, \(\bar X-15\ge -\dfrac{1{,}86}{1{,}5}=-1{,}24\), portanto \(\bar X\ge 15-1{,}24=13{,}76\).
Conclusão: o menor valor de \(\bar X\) que evita erro tipo I é \(\mathbf{13{,}76}\).
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