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Questão FC371984

Acredita-se que a variância ( \(σ^2\)) de uma população, normalmente distribuída e de tamanho infinito, seja igual a 3,6. Para verificar se esta variância é inferior a 3,6, a um ní

Testes de Hipóteses

FCC · 2018

Acredita-se que a variância ( \(σ^2\)) de uma população, normalmente distribuída e de tamanho infinito, seja igual a 3,6. Para verificar se esta variância é inferior a 3,6, a um nível de significância α, foram formuladas as hipóteses \(H_0\): \(σ^2\) = 3,6 (hipótese nula e \(H_1\): \(σ^2\)< 3,6 (hipótese alternativa utilizando o teste qui-quadrado. Uma amostra aleatória de tamanho 10 foi extraída da população obtendo-se uma variância amostral igual a 1,5.

 

 

A conclusão é que ao nível de significância de

  1. 5% aceita-se \(H_0\) e o qui-quadrado calculado foi igual a 2,4.
  2. 10% não se pode rejeitar \(H_0\) e o qui-quadrado calculado foi igual a 3,6.
  3. 2,5% rejeita-se \(H_0\) e o qui-quadrado calculado foi igual a 3,75.
  4. 2,5% aceita-se \(H_0\), ao nível de significância de 5% rejeita-se H0 e o qui-quadrado calculado foi igual a 2,4.
  5. 10% rejeita-se \(H_0\), ao nível de significância de 5% aceita-se H0 e o qui-quadrado calculado foi igual a 3,75.
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Calcule a estatística de teste: \(Q_{\text{obs}}=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\). Com \(n=10\), \(s^2=1,5\) e \(\sigma_0^2=3,6\), tem-se \(Q_{\text{obs}}=\dfrac{9\cdot1,5}{3,6}=3,75\).

Os graus de liberdade são \(df=n-1=9\). Por se tratar de um teste unilateral à esquerda ( \(H_1:\sigma^2<3,6\) ), rejeita-se \(H_0\) quando \(Q_{\text{obs}}<\chi^2_{\alpha,\,df}\) (quantil inferior).

Consultando a tabela: para \(\alpha=0{,}10\) o quantil inferior é aproximadamente \(\chi^2_{0{,}10,9}\approx4{,}168\). Como \(3{,}75<4{,}168\), rejeita-se \(H_0\) a 10%.

Para \(\alpha=0{,}05\) o quantil inferior é aproximadamente \(\chi^2_{0{,}05,9}\approx3{,}325\). Como \(3{,}75>3{,}325\), não há evidência para rejeitar \(H_0\) a 5% (isto é, aceita-se \(H_0\)).

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