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Questão FC371987

Acredita-se que a probabilidade (p) de ocorrência de um determinado evento em 1 dia seja igual a 50%. Para averiguar se essa informação é correta, foi extraída uma amostra aleatóri

Testes de Hipóteses

FCC · 2019

Acredita-se que a probabilidade (p) de ocorrência de um determinado evento em 1 dia seja igual a 50%. Para averiguar se essa informação é correta, foi extraída uma amostra aleatória de 10 dias de um levantamento e foram formuladas as hipóteses \(H_0: p = 0,5\) (hipótese nula) e \(H_1: p ≠ 0,5\) (hipótese alternativa). A regra estabelecida foi rejeitar \(H_0\) caso na amostra tenha se verificado um número de dias n tal que n < 2 ou n > 8. A probabilidade de se cometer um erro tipo I é igual a

  1. 21/1024.
  2. 5/256.
  3. 11/512.
  4. 5/512.
  5. 1/512.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

O erro tipo I é a probabilidade de rejeitar \(H_0\) quando \(H_0\) é verdadeira. Aqui, sob \(H_0\) temos \(p=0{,}5\) e a variável \(X\) (número de dias com o evento em 10 dias) segue a distribuição Binomial \(X\sim\mathrm{Bin}(10,0{,}5)\).

A regra rejeita \(H_0\) se \(X<2\) ou \(X>8\). Assim

\(P(\text{erro tipo I})=P(X=0)+P(X=1)+P(X=9)+P(X=10)\).

Usando \(P(X=k)=\binom{10}{k}(1/2)^{10}\) e a simetria dos coeficientes binomiais, obtemos

\(P= \dfrac{1+10+10+1}{2^{10}}=\dfrac{22}{1024}=\dfrac{11}{512}.\)

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