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Questão FC371996

Sabe-se que 64 pessoas escolhidas ao acaso foram consultadas sobre qual o refrigerante de sua preferência entre duas marcas X e Y. Foi registrado por um sinal “+” os que preferem X

Testes de Hipóteses

FCC · 2018

Sabe-se que 64 pessoas escolhidas ao acaso foram consultadas sobre qual o refrigerante de sua preferência entre duas marcas X e Y. Foi registrado por um sinal “+” os que preferem X e por um sinal “−” os que preferem Y. Verificou-se que o número de sinais “+” superou o número de sinais “−” em 26. Decidiu-se aplicar o teste dos sinais para averiguar se a proporção da população de sinal “mais” (p) é igual a 50% a um nível de significância de 5%. Foram então formuladas as hipóteses \(H_0\): p = 50% (hipótese nula) e \(H_1\): p ≠ 50% (hipótese alternativa). Com aproximação da distribuição binomial pela normal e desconsiderando a correção de continuidade, foi apurado para a tomada da decisão o valor do escore reduzido k para comparação com o valor crítico da curva normal padrão (Z) tal que P(|Z| ≤ 1,96) = 95%. O valor de k é tal que

  1. 3,5 < k ≤ 4,0
  2. 3,0 < k ≤ 3,5
  3. k ≤ 2,5
  4. k > 4
  5. 2,5 < k ≤ 3,0
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Gabarito

B

Comentário do professor

Admitindo \(H_0\) (p = 0,5), o número de sinais “+” segue Binomial(\(N=64\), \(p=0{,}5\)).

Logo, a média é \(\mu = Np = 64\cdot0{,}5 = 32\) e a variância \(\sigma^2 = Np(1-p) = 64\cdot0{,}5\cdot0{,}5 = 16\), de modo que \(\sigma = 4\).

Seja \(X\) o número de sinais “+”. Como os “+” excederam os “−” em 26, temos \(X-(64-X)=26\Rightarrow X=45\).

O escore padronizado é \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{45-32}{4}=\dfrac{13}{4}=3{,}25\).

Portanto, o valor de \(k\) é \(3{,}25\), que pertence ao intervalo indicado: 3,0 < k ≤ 3,5.
Observa‑se também que \(|Z|=3{,}25>1{,}96\), o que leva à rejeição de \(H_0\) ao nível de 5%.

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