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Questão FC372004

Considere uma amostra aleatória de n pares de valores de duas variáveis, Xi e Yi, com i = 1,2, ..., n e admitindo-se que Y é função linear de X, pode-se estabelecer uma regressão l

Regressão

FCC · 2022

Considere uma amostra aleatória de n pares de valores de duas variáveis, Xi e Yi, com i = 1,2, ..., n e admitindo-se que Y é função linear de X, pode-se estabelecer uma regressão linear simples da forma Yi = \(\beta\)0 + \(\beta\)1Xi + ei, onde \(\beta\)0 e \(\beta\)1 são parâmetros desconhecidos, X é a variável independente e Y é a variável dependente. O erro ei é uma série de valores independentes e identicamente distribuídos com ei ∼ N(0,\(\sigma^2\)).

 

No modelo de regressão linear simples

  1. as estimativas de \(\beta\)0 e \(\beta\)1 obtidas pelo método dos mínimos quadrados são não tendenciosas e de variância mínima sem necessidade de que os erros tenham variância constante (homoscedasticidade).
  2. a estimativa de máxima verossimilhança para a variância do erro, \(\sigma^2\), é viesada.
  3. a média dos valores observados de Y é diferente da média dos valores estimados de Y.
  4. a soma dos produtos dos erros pelos respectivos valores estimados de Y, \(\sum_{i=1}^n \, \, \hat{Y}_i \, e_i,\) é diferente de zero.
  5. as estimativas de \(\beta\)0 e \(\beta\)1 obtidas pelo método dos mínimos quadrados são idênticas às obtidas pelo método de máxima verossimilhança nos casos em que a distribuição dos erros não é normal.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Estimativa de máxima verossimilhança para a variância do erro, \( \hat\sigma^2_{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \hat e_i^{\,2}\), é viesada no modelo de regressão linear simples porque os resíduos \(\hat e_i\) não são independentes dos parâmetros estimados: ao estimar \(\beta_0\) e \(\beta_1\) perdemos graus de liberdade.

Mais precisamente, a esperança da MLE satisfaz \(E[\hat\sigma^2_{MLE}]=\frac{n-2}{n}\sigma^2\) (em regressão simples), ou seja, a MLE subestima \(\sigma^2\). Para obter um estimador não-viesado usa-se

\(\hat\sigma^2=\frac{1}{n-2}\sum_{i=1}^n \hat e_i^{\,2}\),

onde o denominador \(n-2\) compensa os dois parâmetros ajustados. À medida que \(n\) cresce, o viés da MLE torna-se desprezível (consistência/asymptoticidade).

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