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Questão FC372005

Uma empresa decide adotar o modelo linear \(F_i - \alpha + \beta P_i\) para prever seu faturamento anual (F), em milhões de reais, em função do gasto anual com promoção de vendas (

Regressão

FCC · 2022

Uma empresa decide adotar o modelo linear \(F_i - \alpha + \beta P_i\) para prever seu faturamento anual (F), em milhões de reais, em função do gasto anual com promoção de vendas (P), também em milhões de reais. Os parâmetros \(\alpha\) e \(\beta\) são desconhecidos, i corresponde à i-ésima observação e \(\epsilon_i\) é o erro aleatório com as respectivas hipóteses do modelo de regressão linear simples. Com base em 10 pares de observações (Pi,Fi), i = 1, 2, 3, ..., 10 e utilizando o método dos mínimos quadrados, foram obtidas as estimativas de \(\alpha\) e \(\beta\) (a e b, respectivamente) e o gráfico abaixo representa a respectiva reta obtida (F = a + bP) em que M é a previsão para F caso P seja igual a 5 milhões de reais.

O valor de M, em milhões de reais, é igual a:

  1. 9,4
  2. 7,6
  3. 8,4
  4. 9,6
  5. 10,0
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Gabarito

B

Comentário do professor

Temos \(n=10\) observações com \(\sum P_i=24{,}50\) e \(\sum F_i=45{,}40\). Calcule as médias: \( \overline P=2{,}45\) e \( \overline F=4{,}54\).

Na regressão \(F=a+bP\) a reta regressora passa por \((\overline P,\overline F)\), logo \(a=\overline F-b\overline P\).

Sabendo que o ponto \((2,4)\) pertence à reta, substituímos: \(4=a+2b\). Substituindo \(a\) obtemos \(4=\overline F-b\overline P+2b\), isto é \(4=4{,}54-2{,}45b+2b\).

Resolve-se para \(b\): \(0{,}45b=0{,}54\) ⇒ \(b=1{,}2\). Então \(a=4-2\cdot1{,}2=1{,}6\).

Para \(P=5\), a previsão é \(M=F=a+bP=1{,}6+1{,}2\cdot5=7{,}6\). Portanto, \(M=7{,}6\) milhões.

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