Questão FC372011
Em uma determinada indústria, foi efetuada uma pesquisa a respeito da possível relação entre o número de horas trabalhadas \((X)\), com \(X ≥ 2\), e as quantidades produzidas de um
Regressão
FCC · 2019
Em uma determinada indústria, foi efetuada uma pesquisa a respeito da possível relação entre o número de horas trabalhadas \((X)\), com \(X ≥ 2\), e as quantidades produzidas de um produto \((Y)\). Com base em 10 pares de observações \((X_i,Y_i)\) e considerando o gráfico de dispersão correspondente, optou-se por utilizar o modelo linear \(Y_i = α + βX_i + ε_i\), com i representando a i-ésima observação, ou seja, i = 1, 2, 3, ... 10. Os parâmetros \(α\) e \(β\) são desconhecidos e as suas estimativas (a e b, respectivamente) foram obtidas pelo método dos mínimos quadrados. Observação: \(ε_i\) é o erro aleatório com as respectivas hipóteses do modelo de regressão linear simples. Considere o gráfico, abaixo, construído utilizando os valores encontrados para as estimativas de \(α\) e \(β\).
Dados:
\(\sum\limits^{10}_{i=1}X_i=120\)
A previsão da quantidade produzida será igual ao dobro da média verificada das 10 observações \(Y_i\) quando o número de horas trabalhadas for igual a
- 20.
- 24.
- 22.
- 18.
- 12.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Observando a reta ajustada, calculamos o coeficiente angular como a razão entre variação de \(Y\) e de \(X\): \(b=\Delta Y/\Delta X=(16-4)/(10-4)=12/6=2\).
Usando um ponto da reta (por exemplo \(X=4, Y=4\)) encontramos o intercepto: \(4=a+2\cdot4\), logo \(a=-4\).
Calcule a média de \(X\): \(\overline X=\sum X_i/n=120/10=12\). Pela relação \(a=\overline Y-b\overline X\) obtemos \(\overline Y=a+b\overline X=-4+2\cdot12=20\).
Queremos que a previsão seja o dobro da média, isto é \(Y_{\text{prev}}=2\overline Y=40\). Substituindo na reta: \(40=a+bX\).
Assim \(40=-4+2X\Rightarrow 2X=44\Rightarrow X=22\). Portanto, a previsão será o dobro da média quando \(X=22\).
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