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Questão FC372020

Deseja-se obter um modelo de regressão para estimar y a partir das variáveis independentes X1 e X2. Com esse objetivo, foram obtidas 5 observações conforme o quadro a seguir: yi xi

Regressão

FCC · 2022

Deseja-se obter um modelo de regressão para estimar y a partir das variáveis independentes X1 e X2. Com esse objetivo, foram obtidas 5 observações conforme o quadro a seguir:

 

yi

 xi1

xi2
1 1 1
3 2 3
2 3 2
1 1 2
3 2 1
 

Considere o modelo de regressão múltipla yi = \(\beta\)0 + \(\beta\)1xi1 + \(\beta\)2xi2 + ei onde ei ∼ N(0,\(\sigma^2\)), atendendo todas as premissas necessárias para o modelo e os dados:

 

\(X \, = \, \begin {bmatrix} 1 \,\, 1 \,\, 1 \\ 1 \,\, 2 \,\, 3 \\ 1 \,\, 3 \,\, 2 \\ 1 \,\, 1 \,\, 2 \\ 1 \,\, 2 \,\, 1 \end {bmatrix} \,\, Y \, = \, \begin {bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end {bmatrix} \,\, (x^t x)^{-1} x^ty \, = \, \begin {bmatrix} ^1/_2 \\ ^2/_3 \\ ^1/_6 \end {bmatrix}\)

 

onde Xt é a transposta de X. Então, é correto afirmar que

  1. a soma dos parâmetros estimados para o modelo é 4/3.
  2. o valor estimado do intercepto é igual a zero.
  3. o valor estimado para y quando x1 = x2 = 6 é igual a 3.
  4. o valor estimado para y quando x1 = x2 = 0 é igual a 0.
  5. o valor estimado para o parâmetro \(\beta\)1 é igual a 1/6.
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Gabarito

A

Comentário do professor

O vetor fornecido \( (x^t x)^{-1}x^ty = \begin{bmatrix}1/2\\[4pt]2/3\\[4pt]1/6\end{bmatrix} \) é o estimador MQO para os coeficientes do modelo, ou seja, \( \hat{\beta}_0=1/2\), \( \hat{\beta}_1=2/3\) e \( \hat{\beta}_2=1/6\).

Para obter a soma dos parâmetros estimados basta somar essas componentes:

\( \hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2 = \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6} \).
Colocando em denominador comum 6: \( \dfrac{3+4+1}{6} = \dfrac{8}{6} \).

Portanto, a soma dos parâmetros estimados é \( \emph{4/3} \), confirmando a alternativa correta.

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