Em uma modelagem de série temporal foi adotado o modelo auto-regressivo de ordem p = 1, AR(1), dado por Zt = 0,8Zt-1 + at, onde at é o ruído branco com média zero e variância unitá

Gabarito

A

Comentário do professor

Considerando o modelo AR(1) \(Z_t=0{,}8Z_{t-1}+a_t\) com \(a_t\) ruído branco de média zero e variância unitária, usamos a independência entre \(Z_{t-1}\) e \(a_t\) para calcular variâncias.

Aplique \(Var\) em ambos os lados: \(Var(Z_t)=0{,}8^2Var(Z_{t-1})+Var(a_t)\). Em regime estacionário \(Var(Z_t)=\sigma^2\), logo \(\sigma^2=0{,}64\sigma^2+1\).

Isolando \(\sigma^2\): \(\sigma^2(1-0{,}64)=1\Rightarrow\sigma^2=\dfrac{1}{0{,}36}=2{,}777\ldots\), arredondando: 2,78.

A função de autocovariância de um AR(1) é \(\gamma(j)=\phi^j\sigma^2\) com \(\phi=0{,}8\). Para \(j=2\): \(\gamma(2)=0{,}8^2\cdot2{,}777\ldots=1{,}777\ldots\), arredondando: 1,78.

Portanto, a variância do processo é 2,78 e \(\gamma(2)=\)\1,78.