Seja o modelo auto-regressivo e estacionário \(Z_t=2+φZ_{t-1}+a_t\) em que \(φ > 0\) e \(a_t\) é o ruído branco de média 0 e variância igual a 0,64. Se a variância de \(Z_t\) é igu

Gabarito

B

Comentário do professor

Começamos lembrando que a soma de uma constante não altera a variância; assim \(Var(Z_t)=Var(\varphi Z_{t-1}+a_t)\).

Como \(a_t\) é ruído branco independente de \(Z_{t-1}\), vale \(Var(\varphi Z_{t-1}+a_t)=\varphi^2Var(Z_{t-1})+Var(a_t)\).

Pelo enunciado \(Var(Z_t)=1\) e, pela hipótese de estacionaridade, \(Var(Z_{t-1})=Var(Z_t)=1\). Substituindo \(Var(a_t)=0,64\) obtemos

\(\varphi^2\cdot 1 + 0,64 = 1 \Rightarrow \varphi^2 = 0,36\).

Assim \(\varphi = \pm 0,6\). Como foi dado \(\varphi>0\), a solução é \(\varphi = 0,6\).