Considere o processo de média móvel de ordem, MA(1) escrito da forma: \(X_t\) = \(θ_0\) + \(ε_t\) + \(θ_1ε_{t-1}\) para t = 1,2,3,... e \(ε_t\) uma sequência de variáveis aleatória

Gabarito

A

Comentário do professor

Média: aplicando a linearidade da esperança, \(E(X_t)=E(\theta_0)+E(\varepsilon_t)+E(\theta_1\varepsilon_{t-1})\). Como \(\theta_0\) é constante e \(E(\varepsilon_t)=0\), tem-se \(E(\theta_0)=\theta_0\) e \(E(\theta_1\varepsilon_{t-1})=\theta_1E(\varepsilon_{t-1})=0\). Assim, \(E(X_t)=\theta_0\).

Variância: use que \(Var(aX)=a^2Var(X)\) e que constantes têm variância zero. Pela independência entre \(\varepsilon_t\) e \(\varepsilon_{t-1}\), não há covariância entre os termos aleatórios, então

\(Var(X_t)=Var(\theta_0)+Var(\varepsilon_t)+Var(\theta_1\varepsilon_{t-1})=0+\sigma^2+\theta_1^2\sigma^2=(1+\theta_1^2)\sigma^2\).

Portanto, a média e a variância de \(X_t\) são, respectivamente, \(\theta_0\) e \(\sigma^2(1+\theta_1^2)\).