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Questão FC372038

Considere os dois modelos ARMA(1,1) a seguir: Modelo 1: Zt = 0,8Zt − 1 + at − 0,3at − 1 Modelo 2: Zt = 1,5Zt − 1 + at − 0,6at − 1 onde at ∼ N(0, \(\sigma^2\)) Quanto à estacionarie

Análise de Séries Temporais

FCC · 2022

Considere os dois modelos ARMA(1,1) a seguir:

 

Modelo 1: Zt = 0,8Zt − 1 + at − 0,3at − 1

Modelo 2: Zt = 1,5Zt − 1 + at − 0,6at − 1        onde at ∼ N(0, \(\sigma^2\))

 

Quanto à estacionariedade e invertibilidade,

  1. os dois modelos são não estacionários.
  2. o modelo 2 é invertível e estacionário.
  3. o modelo 1 é invertível e o modelo 2 é estacionário.
  4. o modelo 1 é invertível e estacionário.
  5. os dois modelos são estacionários.
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Gabarito

D

Comentário do professor

Considere o ARMA(1,1) geral \(Z_t=\phi_1Z_{t-1}+a_t-\theta_1a_{t-1}\). As propriedades são verificadas pelos polinômios característicos: \(\phi(L)=1-\phi_1L\) e \(\theta(L)=1-\theta_1L\).

A estacionariedade exige que a raiz de \(\phi(L)=0\) tenha módulo maior que 1. No modelo 1, \(\phi_1=0{,}8\), logo a raiz é \(L=1/\phi_1=1/0{,}8=1{,}25\), que satisfaz \(>1\). Portanto o processo é estacionário.

A invertibilidade exige que a raiz de \(\theta(L)=0\) tenha módulo maior que 1. Aqui \(\theta_1=0{,}3\), logo \(L=1/0{,}3\approx3{,}33>1\). Assim o modelo é invertível.

Conclusão: o Modelo 1 é estacionário e invertível.

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