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Questão FC372039

Considere o modelo de média móvel de ordem q=2, MA(2), dado por Zt = at − θ1at-1 − θ2at-2, t ∈ Z, com ruído branco at~N(0,σ2). Então o processo resultante será

Análise de Séries Temporais

FCC · 2022

Considere o modelo de média móvel de ordem q=2, MA(2), dado por Zt = at − θ1at-1 − θ2at-2, t ∈ Z, com ruído branco at~N(0,σ2). Então o processo resultante será

  1. invertível para quaisquer valores de θ1 e θ2.
  2. estacionário somente para valores θ1 + θ2 < 1.
  3. estacionário para quaisquer valores de θ1 e θ2.
  4. invertível somente para valores θ1 + θ2 > 1.
  5. estacionário somente se atender as condições −1 < θ1 < 1 e −1 < θ2 < 1.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Estacionário: o processo MA(2) é uma combinação linear finita do ruído branco \(a_t\). Portanto sua média é constante e suas covariâncias dependem apenas da defasagem, não do tempo.


Especificamente, \(Z_t=\sum_{j=0}^{2}\psi_j a_{t-j}\) com \(\psi_0=1,\ \psi_1=-\theta_1,\ \psi_2=-\theta_2\). Assim \(\mathbb{E}[Z_t]=0\) e a variância é \(\mathrm{Var}(Z_t)=\sigma^2(1+\theta_1^2+\theta_2^2)\), finita para quaisquer \(\theta_1,\theta_2\).


As autocovariâncias são dadas por \( \gamma(h)=\sigma^2\sum_{j=0}^{2-h}\psi_j\psi_{j+h}\) para \(h\ge0\), dependendo só do lag \(h\). Isso garante a estacionariedade de segunda ordem.


Além disso, se \(a_t\) é Gaussiano, a combinação linear finita é estritamente estacionária. Portanto o MA(2) é estacionário para quaisquer valores de \(\theta_1\) e \(\theta_2\).

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