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Questão FC372040

Considere os seguintes modelos de análise de séries temporais Modelo 1: média móvel de ordem 1, MA(1), Zt = at - \(θ\)at-1, t \(∈\) \(\mathbb{Z}\) Modelo 2: autorregressivo de orde

Análise de Séries Temporais

FCC · 2022

Considere os seguintes modelos de análise de séries temporais

 

Modelo 1: média móvel de ordem 1, MA(1), Zt = at - \(θ\)at-1, t \(∈\) \(\mathbb{Z}\)

 

Modelo 2: autorregressivo de ordem 1, AR(1), Zt = \(Φ\)Zt-1 + at, t \(∈\) \(\mathbb{Z}\)

 

Onde at possui uma distribuição normal com média 0 e variância \(σ\)2.

 

Então é correto afirmar que

  1. o modelo 1 será invertível para quaisquer valores de \(θ\) e estacionário para valores −1 < \(θ\) <1
  2. o modelo 1 será estacionário para quaisquer valores de \(θ\) e invertível para valores −1 < \(θ\) <1
  3. o modelo 2 será estacionário para quaisquer valores de \(Φ\) e invertível para valores −1 < \(Φ\) < 1
  4. o modelo 2 será invertível somente para valores −1 < \(Φ\) < 1 e estacionário somente para valores \(Φ\) > 1
  5. tanto o modelo 1 quanto o modelo 2 são estacionários para quaisquer valores de \(θ\) e \(Φ\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

A alternativa afirma que o MA(1) é invertível para quaisquer θ e estacionário apenas quando −1 < θ < 1.

Na verdade, um processo MA(1) \(Z_t=a_t-θa_{t-1}\) é sempre fraca‑mente estacionário, pois é uma combinação linear finita de ruído branco: \(E[Z_t]=0\), \(\operatorname{Var}(Z_t)=(1+θ^2)σ^2\) e as autocovariâncias dependem só da defasagem (γ_1 = −θσ^2, γ_h=0 para \(h\ge2\)).

Já a invertibilidade refere‑se à possibilidade de escrever o MA(1) como um AR(∞). Isso exige que o zero do polinômio \(1-θz\) esteja fora do círculo unitário, ou seja, \(|θ|<1\).

Portanto, a alternativa inverte as condições: a parte sobre estacionaridade está incorreta e a condição correta de invertibilidade é \(|θ|<1\).

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