João possui 4 guarda-chuvas, alguns em casa e outros no trabalho. Ele sempre vai a pé entre a sua casa e o seu trabalho e vice-versa. Ele leva um guarda-chuva apenas quando está ch

Gabarito

A

Comentário do professor

Modelamos o problema por uma cadeia de Markov com 5 estados (0 a 4), onde cada estado indica o número de guarda-chuvas no local em que João está. Em cada passo, se chove (prob. 0,6) ele leva um guarda-chuva e o número no próximo local muda; se não chove (prob. 0,4) não leva.

Buscamos a distribuição estacionária \(\pi=(\pi_0,\dots,\pi_4)\) tal que \(\pi P=\pi\). Das equações de balanceamento obtemos \(\pi_0=0{,}4\pi_4\) e, em seguida, \(\pi_1=\pi_2=\pi_3=\pi_4\). Usando \(\sum_i\pi_i=1\): \(\pi_0+4\frac{\pi_0}{0{,}4}=1\), daí \(\pi_0=\tfrac{1}{11}\).

A probabilidade de João se molhar é a probabilidade de ele estar no estado 0 e chover: \(\pi_0\times 0{,}6=\tfrac{1}{11}\times\tfrac{3}{5}=\tfrac{3}{55}\).