Questão FC372044
Considere uma partícula que faz um passeio aleatório simples, simétrico e com barreiras pelas posições {0, 1, 2, ..., 100}. Se a partícula estiver na posição 0, ela se moverá para
Processos Estocásticos
FCC · 2022
Considere uma partícula que faz um passeio aleatório simples, simétrico e com barreiras pelas posições {0, 1, 2, ..., 100}. Se a partícula estiver na posição 0, ela se moverá para a posição 1 no próximo passo. Se a partícula estiver na posição 100, ela se moverá para a posição 99 no próximo passo. Para as posições restantes, a partícula se move para a esquerda ou direita com igual probabilidade.
Se a partícula inicia o passeio na posição 0, a quantidade de passos necessários, em média, para ela retornar à posição 0 é
- 1000
- 500
- 300
- 400
- 200
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Modelamos o passeio como uma cadeia de Markov com estados \(0,1,\dots,100\). Pelas condições de fronteira e simetria, os estados internos têm a mesma probabilidade estacionária entre si e o extremo \(0\) tem probabilidade igual ao extremo \(100\).
Seja \(\pi_i\) a distribuição estacionária. Pela simetria vemos que \(\pi_1=\pi_2=\dots=\pi_{99}=2\pi_0\) e \(\pi_{100}=\pi_0\). Como as probabilidades somam 1:
\( \pi_0 + 99\cdot(2\pi_0) + \pi_0 = 200\pi_0 = 1 \)
Logo \(\pi_0 = 1/200\). Pelo resultado clássico de cadeias ergódicas, o tempo médio de retorno ao estado 0 é o inverso da probabilidade estacionária do mesmo estado.
Portanto o tempo médio de retorno é \(1/\pi_0 = 200\), confirmando a alternativa correta.
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