Uma cadeia de Markov com estados {1,2,3,4} tem matriz de transição \(P=\begin{bmatrix} p&1-p&0&0\\(1-p)/2&p&(1-p)/2&0\\0&(1-p)/2&p&(1-p)/2\\0&0&1-p&p\end{bmatrix}para 0 < p < 1\) A

Gabarito

A

Comentário do professor

Uma distribuição estacionária \( \pi\) satisfaz \( \pi P=\pi\) e \( \sum_i \pi_i=1\).

Seja \( \pi=(a,b,c,d)\). Da igualdade \( \pi P=\pi\) obtemos, entre outras, as equações \(ap+\dfrac{b(1-p)}{2}=a\) e \(a(1-p)+bp+\dfrac{c(1-p)}{2}=b\).

Da primeira segue \(a=\dfrac{b}{2}\). Substituindo na segunda e simplificando obtemos \(a+\dfrac{c}{2}=b\), daí \(c=b\).

Outra equação fornece \(\dfrac{b}{2}+d=c\), portanto \(d=\dfrac{b}{2}\).

Usando a normalização \(a+b+c+d=1\) temos \(\dfrac{b}{2}+b+b+\dfrac{b}{2}=1\Rightarrow 3b=1\), logo \(b=\dfrac{1}{3}\).

Assim \(a=d=\dfrac{1}{6}\) e \(c=\dfrac{1}{3}\), isto é, a distribuição estacionária é \(\pi=(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6})\).