Questão FC372046
Em uma determinada data, o gerente comercial de uma fábrica de um produto marca X, concorrente somente com o produto de outro fabricante marca Y, insatisfeito com a participação de
Processos Estocásticos
FCC · 2018
Em uma determinada data, o gerente comercial de uma fábrica de um produto marca X, concorrente somente com o produto de outro fabricante marca Y, insatisfeito com a participação de seu produto no mercado, decide fazer uma promoção de seu produto. Verifica então que com a promoção, mensalmente, 90% dos clientes que consumiam X continuaram a consumir X e 70% dos que consumiam Y passaram a consumir X. Seja a matriz de transição T abaixo:
Se o gerente ao longo do tempo não interrompe a promoção, então a matriz estacionária S correspondente à matriz de transição T é igual a
- (0,850 0,150).
- (0,725 0,275).
- (0,875 0,125).
- (0,750 0,250).
- (0,840 0,160).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Para encontrar a matriz estacionária S de \(T\) usamos a condição \(S\cdot T = S\). Isso significa que S é o autovetor esquerdo associado ao autovalor 1.
Assuma \(S=\begin{bmatrix}p & 1-p\end{bmatrix}\). Calculando \(S\cdot T\):
\(\begin{bmatrix}p & 1-p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0{,}9 & 0{,}1\\[2pt]0{,}7 & 0{,}3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0{,}2p+0{,}7 & -0{,}2p+0{,}3\end{bmatrix}\).
Iguais aos componentes de S, temos \(0{,}2p+0{,}7=p\). Assim \(0{,}8p=0{,}7\) e \(p=\tfrac{7}{8}=0{,}875\).
Logo a matriz estacionária é \(S=\begin{bmatrix}0{,}875 & 0{,}125\end{bmatrix}\), indicando que, no longo prazo, 87,5% dos consumidores usarão X.
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